Nu OpenAI waarschijnlijk een oplossing heeft gevonden voor Navier-Stokes zal het misschien niet lang duren voor ook de andere milleniumproblemen aangepakt worden. Maar wat zijn die problemen precies? En wat zouden de gevolgen zijn van het vinden van een oplossing?

In dit artikel geef ik een idee van waar de andere problemen over gaan en wat het effect zou kunnen zijn van nieuwe ontwikkelingen.

De milleniumproblemen

Om te beginnen nog even een opfrisser over de milleniumproblemen. In het jaar 2000 presenteerde het Clay Mathematics Institute (CMI) een selectie van zeven van de moeilijkste, belangrijkste, en schijnbaar onoplosbaarste wiskundige problemen. Wie een van de problemen weet op te lossen kan een prijs innen van maar liefst 1 miljoen dollar. De problemen hebben sindsdien geregeld het nieuws gehaald en iedereen die wiskunde of informatica heeft gestudeerd is er wel eens mee in aanraking gekomen. Of het nou echt de zeven belangrijkste problemen zijn wordt nog wel eens ter discussie gesteld, maar interessant zijn ze zeker. Sommige zijn al meer dan 100 jaar onopgelost en alleen al met het begrijpen van de problemen kun je een hele tijd zoet zijn.

1. P vs. NP

Onopgelost sinds: 1971

Als je de oplossing van een probleem snel kunt verifiëren, is er dan ook een snelle manier om de oplossing te berekenen? Dat is in essentie de vraag die het P vs NP probleem stelt. Het woord snel heeft in deze formulering wel een specifieke betekenis. Het gaat namelijk niet per se om hoeveel tijd het kost een oplossing te bepalen, maar om het aantal rekenstappen dat nodig is en hoe dit aantal groeit naarmate het probleem groeit.

Een voorbeeld. Stel, je hebt een kaart met kruispunten en daartussen wegen. Er staat aangegeven hoe lang elke weg is. Kies willekeurig een startpunt en een eindpunt. Je zou je het volgende kunnen afvragen: is er een route van het startpunt naar het eindpunt korter dan 10km? Dit noemen we probleem 1. Een andere vraag die je zou kunnen stellen is: is er een route langs alle kruispunten korter dan 10km? Dit noemen we probleem 2.

Hoewel de problemen op elkaar lijken, blijkt het dat, als het aantal wegen en kruispunten toeneemt, probleem 2 veel sneller moeilijker wordt dan probleem 1. Dit effect is zo sterk dat voor een grote kaart, denk aan zo’n 100.000 kruispunten, het oplossen van probleem 2 zelfs met een supercomputer honderden jaren zou duren, terwijl probleem 1 nog steeds maar een paar seconden kost. Tegelijkertijd kost het controleren van een oplossing bij allebei de problemen maar weinig stappen. Als iemand je een route geeft kun je snel verifiëren of deze maximaal 10 km lang is en of deze langs de vereiste punten komt.

Om dit precies te begrijpen helpt het om te weten wat P en NP zijn, namelijk verzamelingen van problemen. Problemen 1 en 2 horen allebei bij de verzameling NP: problemen die zijn te controleren in polynomiale tijd. Dat wil zeggen dat de snelheid van de groei van het aantal benodigde rekenstappen te omschrijven is als n tot de macht van een ander getal: n^x. Dit kan een groot aantal stappen zijn, maar het groeit altijd minder snel dan exponentiële groei. Probleem 1 hoort daarbij ook bij de verzameling P: problemen die zijn op te lossen in polynomiale tijd.

Problemen in NP zijn dus te controleren in polynomiale tijd, maar zelfs de snelste algoritmes hebben exponentieel veel stappen nodig voor het berekenen van oplossingen. De meeste wetenschappers denken dat een polynomiale oplossing voor problemen in NP onmogelijk is, maar het is nog niet gelukt dit te bewijzen. Het P vs. NP probleem vraagt welke van deze twee waar is:

• P = NP: er is een snellere oplossing voor NP-problemen, we hebben deze alleen nog niet gevonden
• P != NP: er is een fundamenteel verschil tussen P en NP en een snellere oplossing is onmogelijk, we hebben alleen nog geen manier om dit verschil wiskundig te bewijzen

Implicaties

Een van de redenen waarom een snellere oplossing voor NP-problemen informatici zo enthousiast maakt, is dat alle NP problemen met elkaar verbonden kunnen worden zodat een oplossing voor één NP-probleem ook meteen een oplossing is voor alle andere problemen in NP. Een snellere oplossing zou grote implicaties hebben voor onder andere digitale veiligheid. Online beveiliging en cryptomunten zijn bijvoorbeeld gebaseerd op de aanname dat oplossen moeilijker is dan verifiëren, oftewel dat NP niet gelijk is aan P. Als blijkt dat een snelle oplossing voor NP-problemen bestaat, zouden deze technologieën niet meer effectief zijn.

Als zou blijken dat P en NP niet gelijk zijn en er een fundamenteel wiskundig verschil is tussen deze problemen, dan zouden we daar grappig genoeg niet zo veel van merken. De meeste wetenschappers gaan er al vanuit dat dit het geval is, al zou een formeel bewijs ons nog steeds nieuwe dingen kunnen leren.

Er is ook nog een (teleurstellende) derde optie, namelijk dat een polynomiale oplossing bestaat, maar dat deze toch zo traag is dat we er in de praktijk niks aan hebben. Als de invoer groot genoeg is, is een polynomiale oplossing altijd sneller, maar voor kleinere gevallen kan een exponentiële oplossing sneller zijn. Het zou kunnen dat dit kantelpunt pas plaatsvindt bij problemen die groter zijn dan waar we praktische toepassingen voor hebben. Een beetje vergelijkbaar met hoe de Navier-Stokes invoer van OpenAI nooit in het echt voor kan komen.

Een laatste bonusweetje: Je zou misschien verwachten dat NP dan staat voor niet-polynoom, maar dat is niet zo. Het staat namelijk voor non-deterministisch polynoom. Dat wil zeggen, een non-deterministische computer, oftewel een computer die oneindig veel verschillende opties tegelijk kan proberen, kan het probleem in polynomiale tijd oplossen. Hier komt de naam NP vandaan, maar gelukkig resulteert deze definitie in precies dezelfde problemen als onze eerdere definitie (problemen die in polynomiale tijd te verifiëren zijn), die een stuk makkelijker uit te leggen is.

De natuurlijke vervolgvraag is: zijn er dan ook problemen die niet NP zijn? en het antwoord is ja. Om nog een voorbeeld toe te voegen aan onze problemen met de kaart: hoeveel verschillende routes zijn er waarbij je elk kruispunt precies één keer bezoekt? Het verifiëren van dit probleem kan niet in polynomiale tijd. Als iemand je een lijst met routes geeft, kun je daar niet aan zien of die compleet is, dus of er niet nog meer mogelijkheden zijn die niet op de lijst staan. De enige manier om daar achter te komen is zelf te gaan proberen. Het vinden van één zo’n route kost exponentieel veel tijd, dus zelfs een non-deterministische computer, die oneindig veel opties tegelijk kan uitproberen, kan niet in polynomiale tijd het antwoord vinden.

2. Vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer (BSD)

Onopgelost sinds: 1960

Het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer (BSD) zegt iets over elliptische krommen. Dit zijn krommen (lijnen) die je kunt omschrijven met een formule met de vorm y^2 = x^3 + ax + b. Voor a en b kies je vaste waarden, die definiëren over welke kromme je het hebt. Vervolgens bereken je x en y zodat links en rechts van het =-teken op hetzelfde uitkomt. Als je bijvoorbeeld -2 en 1 kiest voor a en b, dan krijg je de kromme y^2 = x^3 – 2x + 1.

Wiskundigen hebben het bij deze krommen onder andere over hoeveel rationele punten er op liggen. Een punt bestaat uit een x- en y-coördinaat en ligt op de kromme als de formule van die kromme klopt met die waardes voor x en y. Bij de kromme van hierboven is dat bijvoorbeeld het punt (x, y) = (1, 0). Als je dit invult krijg je aan de linkerkant 1^2 = 1 en aan de rechterkant 0^3 – 2*0 + 1 = 1. In de afbeelding hierboven kun je zien dat de kromme door dit punt gaat. De rode lijn raakt het punt (1, 0) op de grafiek.

Een punt is rationeel als de coördinaten rationele getallen zijn, oftewel getallen die je als breuk kunt schrijven. Hier horen bijvoorbeeld bij de getallen ½, 42, en 0,12345, maar niet pi en de wortel van 2.

Als je een rationeel punt hebt gevonden dat op de kromme ligt, kun je hier een bepaalde berekening op toepassen om nog een rationeel punt op de kromme te vinden. Op dit nieuwe punt kun je ook weer die berekening toepassen om weer een punt te vinden. De berekening garandeert dat je altijd weer een rationeel punt krijgt dat op de kromme ligt. In sommige gevallen is dit op een gegeven moment weer het punt waar je oorspronkelijk mee begon, zodat als je doorgaat met het toepassen van de berekening, je in een kringetje gaat.

Het kan echter ook zijn dat er oneindig veel nieuwe punten tevoorschijn komen, in een oneindig lange keten. Het kan ook nog zijn dat er meerdere oneindig lange ketens zijn. Dan zijn er bijvoorbeeld twee punten op de kromme waar, als je de berekening toe blijft passen, oneindig veel nieuwe punten uitkomen. De ketens moeten dan wel helemaal verschillend zijn. Oftewel, ondanks dat de ketens allebei oneindig lang zijn, komt elk punt maar in maximaal een van de twee ketens voor. Als een punt in allebei de ketens voor zou komen, dan zou je vanaf dan ook dezelfde volgende punten uit de berekening krijgen en dan is het dus eigenlijk maar één keten.

Het aantal verschillende ketens noemen wiskundigen ook wel de rang van de kromme. Wat wiskundigen zich al zo’n 100 jaar afvragen, is of je die rang kunt berekenen. Op dit moment kun je de rang namelijk alleen maar achterhalen door op goed geluk op zoek te gaan naar rationele punten op de kromme en heel veel berekeningen toe te passen. Hierover gaat het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer (BSD). Zij omschreven een methode die voor elke kromme de rang kan bepalen. Het is niet bepaald een eenvoudige methode, maar een stuk beter dan op goed geluk zoeken. Er is nog geen kromme waarvoor de methode van BSD niet klopt, maar tegelijkertijd heeft ook nog niemand kunnen bewijzen dat deze methode inderdaad werkt voor alle elliptische krommes.

Implicaties

Als het vermoeden wordt bewezen zou ons dus een veel betere methode geven om de rang van een elliptische kromme te bepalen. Elliptische krommen en de bijbehorende wiskunde zijn een belangrijk onderdeel van digitale beveiliging. Veel artikelen over BSD hinten erop dat een oplossing daarom gevolgen zou kunnen hebben voor digitale beveiliging, net zoals een oplossing voor P vs. NP dat zou hebben. Ik betwijfel echter of dit het geval is. Het kunnen bepalen van de rang van een elliptische kromme is niet direct nuttig bij het doorbreken of verbeteren van beveiligingsalgoritmes. Ik denk daarom dat een oplossing voor BSD hooguit een kleine bijdrage zou leveren aan het verbeteren van deze technologieën.

Het belangrijkste gevolg van een bewijs zou zijn dat dit een brug slaat tussen twee verschillende takken van wiskunde, namelijk algebraïsche geometrie en complexe analyse. Dit gaat om abstracte wiskunde, dus niet met directe praktische consequenties, maar dat betekent niet dat het niet nuttig is. Aan het eind van dit artikel zeg ik hier nog iets meer over.

Zie ook: https://www.youtube.com/watch?v=_-feKGb6-gc
Zie ook: https://www.youtube.com/watch?v=3vGiWK_ZyKs

3. Yang-Mills theorie en de massakloof

Onopgelost sinds: 1954

Deze theorie verbindt wiskunde en natuurkunde met elkaar. Om het beter te begrijpen helpt het om eerst wat intuïtie op te bouwen voor hoe zo’n verband tussen wiskunde en natuurkunde werkt. Stel je tekent op de grond een rechte lijn van 2 meter. Je laat iemand over deze lijn lopen en constateert dat het 1 seconde duurt om van het begin naar het eind van de lijn te lopen. Nu teken je een lijn van 4 meter en je laat dezelfde persoon met precies dezelfde snelheid over die lijn lopen. Je constateert dat het afleggen van deze afstand 2 seconden duurt. Op basis van deze observaties formuleer je de volgende theorie: s = v * t.

Hierin is s de afgelegde afstand, t de tijd waarin die afstand is afgelegd, en v de snelheid waarmee die afstand is afgelegd. Deze wiskundige formule voorspelt correct de uitkomst van de twee experimenten: als snelheid gelijk blijft, duurt het twee keer zo lang om een twee keer zo grote afstand af te leggen.

Stel je wil deze theorie nu toepassen om de afstand te berekenen tussen jezelf en een satelliet in een baan rond de aarde. Dit kun je doen door een bericht naar de satelliet te sturen, te meten hoe lang het duurt voor je antwoord krijgt, en op te zoeken hoe snel radiogolven bewegen. Vette pech: het antwoord dat je krijgt met je theorie, klopt niet.

Hoe kan je theorie nou niet kloppen? In de experimenten met het lopen over de lijn klopte de theorie immers wel. Als je de formule aanpast zodat deze klopt voor de berekening met de satelliet, bijvoorbeeld door er een extra getal bij op te tellen, klopt hij niet meer voor de andere gevallen. Conclusie: er is een andere theorie nodig die zowel het lopen over de lijn als de afstand tot de satelliet kan verklaren.

In dit voorbeeld zou dat de relativiteitstheorie van Albert Einstein kunnen zijn. Om precies te zijn, de formule s = (v1 + v2)/(1 + v1 * v2 / c^2). Hiermee kunnen we beide situaties verklaren.

De theorie van Yang en Mills (YM) gaat niet over satellieten en loopsnelheden, maar over het standaardmodel van de deeltjesfysica. Dit is een theorie over de werking van de kleinste deeltjes, de fundamentele bouwstenen van materie. Alles bestaat uit deze deeltjes, dus als je er een goed wiskundig model voor hebt, zegt dit uiteindelijk ook iets over het universum in zijn geheel.

Het wiskundige model van YM lijkt goed te werken, zelfs beter dan alle andere wiskundige modellen voor elementaire deeltjes. Wiskundig gezien zitten er alleen nog wat losse eindjes aan. Bepaalde scenario’s kunnen niet verklaard worden door YM. Het model geeft dan een ander resultaat dan natuurkundige experimenten. Natuurkundigen kunnen met wat plakbandoplossingen het model toch nog goed gebruiken, maar wiskundig gezien is het dus niet één mooi geheel.

De massakloof verwijst naar het fenomeen dat een elementair deeltje niet zomaar elke massa kan hebben. In het bijzonder betekent het dat een deeltje een minimale massa moet hebben. Deeltjes met een kleinere massa kunnen niet bestaan. Natuurkundige experimenten lijken erop te wijzen dat deze kloof bestaat, maar het is nog niet gelukt om te bewijzen dat deze kloof ook bestaat volgens YM.

Implicaties

Als zou blijken dat het niet mogelijk is om YM wiskundig helemaal te laten kloppen zou dit niet meteen voor problemen zorgen. Natuurkundigen zouden het model nog steeds kunnen gebruiken op de manier waarop ze dat nu doen, al zou het wel betekenen dat er grenzen zitten aan de acuratesse ervan. Het zou ook inspiratie kunnen zijn voor iemand om een helemaal nieuw model te bedenken dat nog beter werkt.

Als de wiskundige losse eindjes opgelost zouden kunnen worden zouden we een stuk beter begrijpen hoe het universum in elkaar zit en op een fundamenteel niveau werkt. Hoewel dit misschien niet meteen voor veranderingen zorgt in het alledaagse leven is het natuurlijk wel ontzettend interessant om meer te weten over waarom dingen zijn zoals ze zijn.

Zie ook: https://www.youtube.com/watch?v=HiZ-IFHWOzU

4. Vermoeden van Hodge

Onopgelost sinds: 1940

Kun je complexe vraagstukken uit de topologie op een simpele manier berekenen? Een antwoord op het vermoeden van Hodge zou ons daar antwoord op kunnen geven. De topologie is de tak van wiskunde die zich bezighoudt met vormen. Het vermoeden van Hodge gaat over vormen in hogere dimensies (meer dan 3), waardoor het helaas lastig is om hier een voorstelling van te maken. Dit betekent ook dat je definitie van een vorm kunt formuleren en vervolgens zelfs zeer basale vragen over die vorm niet kunt beantwoorden.

Om hier een heel klein beetje een indruk van te geven, kunnen we kijken naar de definitie: alle punten met een afstand van 1 tot de oorsprong. In 2D is het niet moeilijk om hier een voorstelling van te maken, dit is namelijk een cirkel. Met de stelling van Pythagoras kunnen we dezelfde vorm ook op een algebraïsche manier, dat wil zeggen met een formule, definiëren. Een cirkel is namelijk te definiëren met de formule x^2 + y^2 = 1.

Vervolgens zouden we ons af kunnen vragen hoeveel ruimte zich binnen deze vorm bevindt. In het geval van een cirkel is dit de oppervlakte. Dit kan zowel op een algebraïsche manier, dus door de formule te beschouwen, als op een topologische manier, dus door verder te redeneren vanaf de definitie van de vorm. Beide methodes leiden gelukkig tot hetzelfde antwoord.

Hetzelfde kunnen we doen in drie dimensies. In plaats van een cirkel krijgen we een bal en in plaats van oppervlakte krijgen we inhoud. In twee en drie dimensies kunnen we, naast de topologische en algebraïsche definities, ook een visuele voorstelling maken van waar we het over hebben. Vanaf vier dimensies is dat erg lastig, maar de topologische en algebraïsche technieken blijven wel van toepassing.

Het vermoeden van Hodge speelt zich af in deze hogere dimensies. Daarbij gaat het niet om cirkels, maar om complexere vormen met gaten erin. Gaten in vormen zijn belangrijk voor topologen, omdat je vormen met hetzelfde aantal gaten als dezelfde vorm kunt beschouwen. Het vermoeden van Hodge stelt voor een specifieke verzamelijk vormen de vraag of je de gaten in die vormen kunt omschrijven op een algebraïsche manier.

Implicaties

Een bewijs van het vermoeden van Hodge zou ons een manier geven om de gaten in die complexe vormen inderdaad op een algebraïsche manier te omschrijven. Dit zou het een stuk makkelijker maken om berekeningen voor deze vormen uit te voeren. Verder zou het waarschijnlijk tot verschillende andere doorbraken in de abstracte wiskunde leiden.

Hoewel er dus niet direct praktische consequenties aan het vermoeden zitten, is het voor wiskundigen toch een zeer interessant onderwerp. Dit heeft er onder andere mee te maken dat topologie nauw verbonden is met bijna alle andere takken van wiskunde. Doorbraken in de topologie hebben dus ook consequenties voor ons begrip van wiskunde als geheel.

5. Riemann Hypothese (RH)

Onopgelost sinds: 1859

Kun je voorspellen waar op de getallenlijn priemgetallen zich bevinden? Waarschijnlijk niet, maar als de Riemann Hypothese waar is, kunnen we wel heel dicht in de buurt komen. We zouden ze nog steeds niet perfect kunnen voorspellen, maar het zou betekenen dat priemgetallen zich met een bepaalde regelmaat voordoen.

De Riemann Hypothese (RH) luidt als volgt: “Het reële deel van elk niet-triviaal nulpunt van de Riemann-zèta-functie ζ is ½.” Om te zien wat dit met priemgetallen te maken heeft zullen we de stelling stukje voor stukje ontleden.

De Riemann-zèta-functie is een wiskundige functie en wordt aangeduid met de Griekse letter ζ (zèta). Dat het een functie is, wil zeggen dat je er een getal in kunt stoppen en er een ander getal uitkomt. Voor getallen groter dan 1 heeft de functie een relatief eenvoudige definitie, maar voor andere getallen zijn er meerdere tussenstappen nodig om de uitkomst te berekenen met een proces dat analytische voortzetting heet. Hierdoor is het dus niet mogelijk om een simpele definitie van de functie te geven. Daarbij kost dit proces ook nog eens meer stappen voor grotere waardes.

De functie heeft complexe getallen als invoer en uitvoer. Complexe getallen kun je zien als een soort 2D getallen. Normale getallen, die wiskundigen reële getallen noemen, kun je aanwijzen op een getallenlijn. Complexe getallen kun je aanwijzen op een 2D grafiek. De x-coördinaat noem je dan het reële deel en de y-coördinaat het imaginaire deel.

Als laatste: een nulpunt is een invoer waarvoor de uitvoer 0 is. De hypothese stelt dus dat alle invoeren van ζ met uitvoer 0 een reëel deel van ½ hebben, oftewel als je ze op een grafiek zou tekenen zouden ze allemaal op een verticale lijn net rechts van de oorsprong liggen.

Implicaties

De nulpunten van ζ kun je, via nog meer wiskundige formules en theorieën, gebruiken om priemgetallen te voorspellen. Als de hypothese waar is, is dit een zeer accurate voorspelling. Om hier een idee van te geven, stel je voor dat je de grootte van het 10.000e priemgetal wil voorspellen. Met moderne computers kun je dit natuurlijk in een paar milliseconden precies berekenen, maar daar gaat het nu even niet om. Als RH niet waar is, kun je met andere wiskundige theorieën nog steeds met een afwijking van minder dan 10% voorspellen wat het 10.000e priemgetal is. Als RH echter wel waar is, dan kan het met een afwijking van minder dan 1%. Sterker nog, hoe groter het priemgetal dat je wil voorspellen, hoe beter de voorspelling met RH en hoe groter het verschil ten opzichte van de voorspelling zonder RH.

Het wel-of-niet waar zijn van RH heeft nog meer gevolgen. Echter hebben deze gevolgen, net als bij BSD, allemaal betrekking hebben op abstracte wiskunde, nog veel abstracter dan complexe getallen en priemgetallen. Dat maakt het lastig om er in dit artikel een indruk van te geven. Hoe ik dit mezelf voorstel is dat RH een verbindingsstuk is tussen verschillende takken van wiskunde. Elke tak heeft zijn eigen vragen en antwoorden. Als RH waar is, dan kun je het antwoord uit de ene tak gebruiken voor een vraag uit de andere tak. De meeste wiskundigen denken dat dit het geval is en bouwen nieuwe theorieën op de aanname dat het zo is. Als dit bevestigd wordt, zegt dat iets over een dieper patroon in de wiskunde, een soort regelmatigheid in het universum. Als het ontkracht wordt, zegt dit eigenlijk niet zo veel. Daarom zijn er naast wiskundigen die denken dat het waar is, ook vooral een heleboel wiskundigen die het hopen.

Zie ook: https://www.youtube.com/watch?v=e4kOh7qlsM4

Het nut van abstracte wiskunde

Je zou dit artikel kunnen samenvatten als: “Wat is de oplossing van de milleniumproblemen? Nieuwe problemen.” De kans is erg klein dat een doorbraak ons dagelijks leven significant zou veranderen. Toch denk ik dat het onderzoeken van deze problemen de moeite waard is.

Zo nu en dan blijken abstracte resultaten toch praktisch nut te hebben. Binaire getallen waren bijna 500 jaar lang abstracte wiskunde, tot ze in de 20e eeuw ineens een praktische toepassing kregen. En zelfs als een theorie niet direct praktisch toepasbaar is, denk ik dat het zin heeft om te proberen deze te doorgronden.

Problemen zoals de milleniumproblemen hebben een zekere schoonheid. De verbanden die worden gelegd en de resultaten zijn op een aangename manier verrassend. De problemen laten zien hoe veel we wel niet weten als mensheid, en tegelijkertijd hoe weinig we weten.

Bekende wiskundige Grant Sanderson maakte onlangs een mooie vergelijking naar aanleiding van de groeiende rol van AI. Ben je een tevreden schoothond, die rennen ziet als bittere noodzaak om te overleven, en opgelucht is dat het nu niet meer hoeft; of ben je een overijverige herdershond, die rennen juist ziet als het doel van het leven? Hierin zie ik een vergelijking met de milenniumproblemen. Misschien zijn praktische toepassingen niet het doel, maar juist de abstracte en daarmee universele antwoorden en vragen.